函数与数列求和

前言

典例剖析

依托函数，利用导数，求数列的最值；

等差数列 \(\{a_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_{n}\)， 已知 \(S_{10}=0\)， \(S_{15}=25\)， 则 \(n\cdot S_{n}\) 的最小值为__________.

法一: 由于数列 \(\{a_{n}\}\) 为等差数列， 故可设 \(S_{n}=an^{2}+bn\)， 则 \(\left\{\begin{array}{l}{100a+10b=0}\\{225a+15b=25}\end{array}\right.\)，

解得 \(a=\cfrac{1}{3}\) ，\(b=-\cfrac{10}{3}\)， 则\(S_{n}=\cfrac{1}{3}n^{2}-\cfrac{10}{3}n\)，

从而 \(n\cdot S_{n}=\cfrac{1}{3}n^{3}-\cfrac{10}{3}n^{2}\)，其依托对应的函数为 \(y=\cfrac{1}{3}x^{3}-\cfrac{10}{3}x^{2}\)，

对函数 \(y=\cfrac{1}{3}x^{3}-\cfrac{10}{3}x^{2}\)，由于\(n\in N^*\)，故不妨限定\(x>0\)，

先求函数的单调性，\(y‘=x^2-\cfrac{20}{3}x=x(x-\cfrac{20}{3})\)，

当\(x<\cfrac{20}{3}\)时，\(y‘<0\)，函数单调递减，当\(x>\cfrac{20}{3}\)时，\(y‘>0\)，函数单调递增；

则当 \(x=\cfrac{20}{3}\) 时， \(y\) 取极小值，

则\(n\cdot S_{n}=\cfrac{1}{3}n^{3}-\cfrac{10}{3}n^{2}\)在 \(\{1,2,3,4,5,6\}\) 上单调递减，在 \(\{7,8,9,\cdots,\}\) 上单调递增，

又当 \(n=6\) 时， \(6S_{6}=-48\)，当\(n=7\) 时， \(7S_{7}=-49\)，

故当\(n=7\) 时，\(n\cdot S_{n}\)的最小值为\(-49\).

依托函数，使用裂项相消法求数列的前\(n\)项的和

设函数 \(f(x)=x^{m}+ax\) 的导数 \(f‘(x)=2x+2\)，求数列\(\{\cfrac{1}{f(n)}\}\) \((n\in N^{*})\) 的前 \(n\) 项和 \(S_{n}\cdot t_{1}\)

解 因为 \(f‘(x)=2x+2\)， 所以 \(f(x)=x^{2}+2x+C\)，

因为\(f(x)=x^{m}+ax\)， 所以 \(m=2\)， \(a=2\)， \(C=0\)，

即 \(f(x)=x^{2}+2x\)，所以 \(f(n)=n^{2}+2n=n(n+2)\)，

从而设 \(b_{n}=\cfrac{1}{f(n)}=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+2})\)，

所以\(S_{n}=b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots+b_{n-1}+b_{n}\)

\(=\cfrac{1}{2}\left[(1-\cfrac{1}{3})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{4})+\cdots+(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n+1})+(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+2})\right]\)

\(=\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{3}{2}-\cfrac{1}{n+1}-\cfrac{1}{n+2}\right)\)

依托函数，使用错位相减法，求数列的前\(n\)项的和

设 \(f_{n}(x)=x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}-1\) \((x\geq 0, n\in N, n\geq 2)\)，求 \(f‘_{n}(2)\).

解 因为 \(f‘_{n}(x)=1+2x+3x^{2}+\cdots+(n-1)x^{n-2}+nx^{a-1}\),

所以 \(f‘_{n}(2)=1+2\cdot2+3\cdot2^{2}+\cdots+(n-1)2^{n-2}+n2^{n-1}\) \(\quad ①\)

则 \(2f‘_{n}(2)=2+2\cdot2^{2}+3\cdot 2^{3}+\cdots+(n-1)2^{n-1}+n2^{n}\) \(\quad ②\)

①-②：整理化简得到，

\(f‘_{n}(2)=-(1+2+2^{2}+\cdots+2^{n-1})+n2^{n}=(n-1)2^{n}+1\).

依托分段函数，求数列的周期

已知函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}2(1-x), & 0 \leq x \leq 1\\x-1, & 1

分析：由题意，很自然想到本题是考察函数的周期，所以计算数列的前有限项，

观察周期 \(f_{1}(2)=1\)， \(f_{2}(2)=0\)， \(f_{3}(2)=2\)， \(f_{4}(2)=1\)，

所以周期 \(T=3\)， 所以 \(f_{2016}(2)=f_{3}(2)=2\).

依托三角函数，求数列的前\(n\)项和

已知数列 \(\{a_{n}\}\) 满足 \(a_{1}=1\), \(a_{2}=2\), \(a_{n+2}=(1+cos^{2}\cfrac{n\pi}{2})a_{n}\)\(+\sin^{2}\cfrac{n\pi}{2}\)， 求数列 \(\{a_{n}\}\) 的前 \(18\) 项的和.

解： 当 \(n\) 为偶数时, \(\cos^{2}\cfrac{n\pi}{2}=1\)， \(\sin^{2}\cfrac{n\pi}{2}=0\)， 从而 \(a_{n+2}=2a_{n}\).

所以偶数项是以 \(2\) 为公比， \(2\) 为首项的等比数列,即 \(S_{偶}(n\leq 18)=1022\)；

当 \(n\) 为奇数时, \(\cos^{2}\cfrac{n\pi}{2}=0\), \(\sin^{2}\cfrac{n\pi}{2}=1\)， 从而 \(a_{n+2}=a_{n}+1\)，

所以奇数项是以 \(1\) 为公差，首项为 \(1\) 的等差数列.

即 \(S_{奇}(n \leq 18)=45\) ；

故\(S_{18}=S_{偶}(n\leq 18)+S_{奇}(n \leq 18)=1065\).